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22 Fractales

Les fractales sont des objets mathématiques…
dont une partie ressemble à tout l'objet.
qui sont toujours multicolores.
qui ont été découverts par l’artiste Salvador Dali.

Ces formes géométriques, une fois agrandies, présentent toujours plus de subtilités et l’agrandissement d’une partie quelconque de l’objet ressemble essentiellement à nouveau à tout l'ensemble. La coloration des fractales sert plutôt à souligner et visualiser la beauté de ces objets mathématiques. Salvador Dali utilisa l'art fractal dans son œuvre "The Face of War" sans en être le découvreur.

 

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Ces formes géométriques, une fois agrandies, présentent toujours plus de subtilités et l’agrandissement d’une partie quelconque de l’objet ressemble essentiellement à nouveau à tout l'ensemble. La coloration des fractales sert plutôt à souligner et visualiser la beauté de ces objets mathématiques. Salvador Dali utilisa l'art fractal dans son œuvre "The Face of War" sans en être le découvreur.

 

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Comment a-t-on appelé les fractales au début du 20ième siècle ?
Les dragons autosimilaires
Les monstres mathématiques
Les fantômes complexes

Au tournant du 19e au 20e, la vision mathématique du monde s’ébranla avec la découverte de nouvelles structures et géométries qui représentaient des caractéristiques extrêmement contre-intuitif, tels des structures infiniment morcelées avec des détails à tous les niveaux. Ces objets ont été tellement « hors du commun » que les mathématiciens de l’époque les comparaient aux « chimères » de la mythologie grecque et les appelaient des « monstres mathématiques ».

 
 

Au tournant du 19e au 20e, la vision mathématique du monde s’ébranla avec la découverte de nouvelles structures et géométries qui représentaient des caractéristiques extrêmement contre-intuitif, tels des structures infiniment morcelées avec des détails à tous les niveaux. Ces objets ont été tellement « hors du commun » que les mathématiciens de l’époque les comparaient aux « chimères » de la mythologie grecque et les appelaient des « monstres mathématiques ».

 
 
Comment s’appelle une des fractales les plus célèbres ?
L’ensemble de Mandelbrot
L’ensemble de Walnusskuchen
L’ensemble de Erdnussbutter

La plus célèbre de toutes les fractales est l’ensemble de Mandelbrot, d'après Benoît Mandelbrot (1924-2010) qui a inventé le terme "fractales" en 1975. Déjà avant la première guerre mondiale, les mathématiciens français Gaston Julia (1893-1978) et Pierre Fatou (1878-1929) ont élaboré les bases mathématiques de cet ensemble. En 1978, une première représentation graphique a été créée par Robert Brooks et Peter Matelski. Benoît Mandelbrot, qui travaillait à l’époque chez IBM fut le premier à obtenir une visualisation informatique de cet ensemble, qui portera plus tard son nom. Grâce aux travaux de Mandelbrot, les fractales sont devenus de plus en plus connues et leur utilité pour d'autres domaines a été découverte.

Au LSC, vous pouvez découvrir l'ensemble de Mandelbrot sur un écran tactile géant, grâce à l'application « Retinalmandelbrot » développée par le mathématicien allemand Fritz Hörmann (www.retinalmandelbrot.com).

 

 

 

 

 

La plus célèbre de toutes les fractales est l’ensemble de Mandelbrot, d'après Benoît Mandelbrot (1924-2010) qui a inventé le terme "fractales" en 1975. Déjà avant la première guerre mondiale, les mathématiciens français Gaston Julia (1893-1978) et Pierre Fatou (1878-1929) ont élaboré les bases mathématiques de cet ensemble. En 1978, une première représentation graphique a été créée par Robert Brooks et Peter Matelski. Benoît Mandelbrot, qui travaillait à l’époque chez IBM fut le premier à obtenir une visualisation informatique de cet ensemble, qui portera plus tard son nom. Grâce aux travaux de Mandelbrot, les fractales sont devenus de plus en plus connues et leur utilité pour d'autres domaines a été découverte.

Au LSC, vous pouvez découvrir l'ensemble de Mandelbrot sur un écran tactile géant, grâce à l'application « Retinalmandelbrot » développée par le mathématicien allemand Fritz Hörmann (www.retinalmandelbrot.com).

 

 

 

 

 

L’ensemble de Mandelbrot est un sous-ensemble du plan complexe. Contrairement à l’ensemble des nombres réels, l’ensemble des nombres complexes inclut
la racine carrée de -1
la racine cubique de -1
le nombre π

Les nombres complexes constituent une extension des nombres réels ℝ, contenant en particulier le nombre imaginaire i tel que i2 = −1, donc la racine carrée de -1 est la bonne réponse. La racine cubique de -1 est -1 et donc dans l’ensemble des entiers relatifs ℤ qui est un sous ensemble des nombres réels et le nombre pi est un nombre réel.

 

 
 

 

Les nombres complexes constituent une extension des nombres réels ℝ, contenant en particulier le nombre imaginaire i tel que i2 = −1, donc la racine carrée de -1 est la bonne réponse. La racine cubique de -1 est -1 et donc dans l’ensemble des entiers relatifs ℤ qui est un sous ensemble des nombres réels et le nombre pi est un nombre réel.

 

 
 

 

Lequel des 3 objets n’est pas parfaitement autosimilaire, ce qui veut dire qu’il n’est pas constitué que de copies de lui-même, quel que soit l'échelle à laquelle on l'observe ?
A
B
C

Les fractales les plus simples se composent des petites copies d'elles-mêmes. Un exemple est un arbre parfait, dont les branches ont en fait la même forme que l'arbre lui-même. Ces fractales sont dites parfaitement autosimilaires. L’arbre montré est appelé l’arbre de Pythagore et est construit à l’aide de carrés.

Une droite n’est pas fractale mais aussi parfaitement autosimilaire car la structure originale est maintenue en l’agrandissant infiniment.

Cependant, l’éclair est à son tour fractal et a une structure un peu plus complexe, de sorte que de nouveaux détails apparaissent en zoomant. Cet ensemble n'est donc pas parfaitement autosimilaire, mais seulement autosimilaire. Les fractales présentent quand-même toujours un degré élevé d'autosimilarité.

 

 

Les fractales les plus simples se composent des petites copies d'elles-mêmes. Un exemple est un arbre parfait, dont les branches ont en fait la même forme que l'arbre lui-même. Ces fractales sont dites parfaitement autosimilaires. L’arbre montré est appelé l’arbre de Pythagore et est construit à l’aide de carrés.

Une droite n’est pas fractale mais aussi parfaitement autosimilaire car la structure originale est maintenue en l’agrandissant infiniment.

Cependant, l’éclair est à son tour fractal et a une structure un peu plus complexe, de sorte que de nouveaux détails apparaissent en zoomant. Cet ensemble n'est donc pas parfaitement autosimilaire, mais seulement autosimilaire. Les fractales présentent quand-même toujours un degré élevé d'autosimilarité.

 

 

En partant d'un triangle rempli, on enlève un triangle plus petit, dont les coins forment le milieu des côtés du triangle initial. La même chose est répétée avec les triangles remplis restants. Ce processus est ensuite poursuivi à l'infini, c'est-à-dire un processus d'enlèvement infini. Quelle est la dimension du « triangle final » ?
0
0,59
1
1,59
2

Un point a la dimension 0, une ligne la dimension 1, une feuille de papier la dimension 2 et un cube la dimension 3. Les fractales, en revanche, peuvent avoir des dimensions qui ne sont pas des nombres entiers. On parle d'une dimension brisée, d'où le nom de fractale, du latin "fractus", pour « briser ».

Le triangle initial a la dimension 2, bien sûr, mais plus nous itérons souvent, plus notre triangle devient "fin" et se rapproche d'un objet de dimension 1. Et c'est exactement à ce que satisfait la dimension fractale, en attribuant à ce triangle, appelé « triangle de Sierpinski » une dimension comprise entre 1 et 2, à savoir 1,59.

 
 

Un point a la dimension 0, une ligne la dimension 1, une feuille de papier la dimension 2 et un cube la dimension 3. Les fractales, en revanche, peuvent avoir des dimensions qui ne sont pas des nombres entiers. On parle d'une dimension brisée, d'où le nom de fractale, du latin "fractus", pour « briser ».

Le triangle initial a la dimension 2, bien sûr, mais plus nous itérons souvent, plus notre triangle devient "fin" et se rapproche d'un objet de dimension 1. Et c'est exactement à ce que satisfait la dimension fractale, en attribuant à ce triangle, appelé « triangle de Sierpinski » une dimension comprise entre 1 et 2, à savoir 1,59.

 
 
Grâce aux fractales…
nos bâtiments sont devenus plus stables.
nos téléphones mobiles ont une forme compacte.
nos ordinateurs sont devenus plus puissants.

Inventée en 1955 par l'ingénieur catalan Carlos Puente, l'antenne fractale permet la coexistence de plusieurs technologies radio telles que Bluetooth, WLAN et GPS. Comme chacune de ces technologies fonctionne dans sa propre gamme de fréquences, on aurait besoin d'autant d'antennes différentes. L'autosimilarité de l'antenne fractale permet d'avoir une portée avec une bonne efficacité pour chaque longueur d'onde.

La structure fractale s'adapte également à une grande longueur de bord dans une très petite zone, de sorte que même des ondes relativement longues peuvent être émises ou reçues avec une petite antenne. C'est ce qui a rendu possible la forme compacte des téléphones mobiles d'aujourd'hui.

 

 

 

 

Inventée en 1955 par l'ingénieur catalan Carlos Puente, l'antenne fractale permet la coexistence de plusieurs technologies radio telles que Bluetooth, WLAN et GPS. Comme chacune de ces technologies fonctionne dans sa propre gamme de fréquences, on aurait besoin d'autant d'antennes différentes. L'autosimilarité de l'antenne fractale permet d'avoir une portée avec une bonne efficacité pour chaque longueur d'onde.

La structure fractale s'adapte également à une grande longueur de bord dans une très petite zone, de sorte que même des ondes relativement longues peuvent être émises ou reçues avec une petite antenne. C'est ce qui a rendu possible la forme compacte des téléphones mobiles d'aujourd'hui.

 

 

 

 

Qui ou quoi a été un point important dans l’essor de l’art fractale ?
Les ordinateurs plus puissants qui étaient capables d’effectuer des calculs complexes.
L’artiste Salvador Dali, en étant un des premiers à appliquer l’art fractal.
La prise de conscience que les fractales se retrouvent si nombreuses dans la nature et partout autour de nous.

La technologie informatique des années 80 ne permettait de créer que de simples fractales en noir et blanc. Cette situation a changé avec l'arrivée des ordinateurs, de plus en plus puissants et capables d'effectuer des calculs mathématiques complexes. Ils ont également permis d'afficher les fractales en couleur et de maintenir le temps de calculs dans des limites.

 

 

La technologie informatique des années 80 ne permettait de créer que de simples fractales en noir et blanc. Cette situation a changé avec l'arrivée des ordinateurs, de plus en plus puissants et capables d'effectuer des calculs mathématiques complexes. Ils ont également permis d'afficher les fractales en couleur et de maintenir le temps de calculs dans des limites.

 

 

Ce quiz a été élaboré par le Luxembourg Science Center à Differdange. Visitez le centre pour en savoir plus sur les fractales et bien d'autres thèmes scientifiques !

 
 

Ce quiz a été élaboré par le Luxembourg Science Center à Differdange. Visitez le centre pour en savoir plus sur les fractales et bien d'autres thèmes scientifiques !

 
 

Avant de découvrir votre résultat, laissez-nous un courriel de contact si vous souhaitez participer au tirage au sort des meilleurs scores et gagner des entrées gratuites au Luxembourg Science Center !

Images copyrights :

1 Luxembourg Science Center

2 Luxembourg Science Center

3 Luxembourg Science Center

4 travaux.indse.be

5 wikipedia.org

6 cplusplus.com

7 studydrive.net

8 epo.org

9 Luxembourg Science Center

 

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